QuestionFind a function $F$ such that $\mathbf{F} = \nabla f$, where $\mathbf{F}(x, y) = \langle 2x, 4y \rangle$, and $C$ is the arc of the parabola $x = y^2$ from $(4, -2)$ to $(1, 1)$.

Studdy Solution
Calcular el trabajo a lo largo de la curva $C$ usando la función potencial.
Dado que el campo es conservativo, el trabajo es la diferencia de potencial entre los puntos finales:
$$W = f(1, 1) - f(4, -2)$$
Calcular $f(1, 1)$:
$$f(1, 1) = 1^2 + 2(1)^2 + C = 1 + 2 + C = 3 + C$$
Calcular $f(4, -2)$:
$$f(4, -2) = 4^2 + 2(-2)^2 + C = 16 + 8 + C = 24 + C$$
Calcular el trabajo:
$$W = (3 + C) - (24 + C) = 3 + C - 24 - C = -21$$
El trabajo realizado a lo largo de la curva $C$ es:
$$\boxed{-21}$$